Dieses Buch enthält keine Magie, keine Tricks. Es ist weder eines dieser Bücher mit "esoterischem Wissen enthüllt" noch ein Buch, das verspricht, dass Sie eines Tages einen Abel-Preis oder eine Fields-Medaille erhalten.

Was dieses Buch ist, ist ein systematischer und unglaublich lehrreicher Überblick über Richtlinien zur mathematischen Problemlösung, die, wie der Autor es ausdrückte, "natürlich, einfach, offensichtlich und vom gesunden Menschenverstand ausgehend" sind.

Wenn Sie sich jemals einem ernsthaften Problem gestellt haben, das Sie wirklich, wirklich, wirklich hätten lösen wollen, wird Ihnen das Buch wahrscheinlich nichts beibringen, was Sie noch nicht wussten. Ich muss es jedoch zweimal sagen, das Buch ist in einem Stil geschrieben, der so lehrreich ist, dass ich mir ziemlich sicher bin, dass fast jeder davon profitieren kann.

Meiner Meinung nach ist dies definitiv eines dieser Bücher, die jeder Mathematiker und jeder, der Mathematik verwendet (oder sich sogar mit schwierigen Problemen nichtmathematischer Natur befasst), lesen und vielleicht sogar eines herumliegen lassen sollte ... nur für den Fall, dass Sie Lust auf eine Lösung haben die Riemannsche Hypothese: P (oder etwas, das für diese Angelegenheit etwas einfacher ist XD)

George Polyaist klassisch Wie man es löst ist eine wegweisende Arbeit im Mathematikunterricht. Dieses Buch wurde 1945 geschrieben und in fast allen Texten zum Thema Mathematik, auf die ich jemals gelesen habe, erwähnt. Es ist eine kurze Untersuchung der allgemeinen Heuristik zur Lösung mathematischer Probleme. Während das Schreiben etwas klobig ist (Polya war Mathematiker und Englisch war nicht seine Muttersprache), sind die Ideen so nützlich, dass sie weiterhin nicht nur für die Lösung mathematischer Probleme relevant sind, sondern für die Lösung aller Probleme in jedem Bereich.

Polyas allgemeine Schritte zur Lösung von Problemen umfassen die folgenden vier Schritte: 1. das Problem verstehen, 2. einen Plan erstellen, 3. den Plan ausführen und 4. zurückblicken und die Lösung untersuchen. Dies sind einfache und leicht zu merkende Schritte, die jedoch in ihrer Anwendbarkeit auf die grundlegendsten bis komplexesten Probleme, mit denen wir konfrontiert sind und die im Mittelpunkt des Lernens stehen, von großer Bedeutung sind. Im Laufe der Jahre haben verschiedene Autoren diese Schritte überarbeitet (hinzugefügt, weggenommen, den Wortlaut und die Betonung verschoben), wobei die wesentlichen Punkte immer noch gelten.

Neben dem allgemeinen Rahmen von Polyas Heuristik und ihrer verallgemeinerbaren Natur gefällt mir an dieser Arbeit besonders, dass ich sie für Nuggets der Weisheit erneut besuchen kann. Der dritte Abschnitt und ungefähr die Hälfte des Buches enthält "Ein kurzes Wörterbuch der Heuristik", eine großartige Ressource. Jeder Eintrag ist ein kurzer Aufsatz zu einem bestimmten Thema, der entweder die Art der Problemlösung oder die Geschichte der Problemlösung abwägt. Ein nützlicher Rahmen, den ich sofort weggenommen habe, ist der Unterschied zwischen "zu lösenden Problemen" und "zu beweisenden Problemen". Wenn man zwischen diesen beiden Arten von Problemen unterscheidet, ist es leicht zu erkennen, dass wir uns in der Ausbildung oft auf zu lösende Probleme konzentrieren, aber ich und viele Schüler lieben es herauszufinden, warum (Probleme zu beweisen).

Ich denke, dies ist ein Buch, auf das ich zurückkommen und auf das ich zurückgreifen werde: ein wahrer Klassiker in der pädagogischen Literatur.

Polya versucht zu erklären, wie man ein besserer „Problemlöser“ wird und wie man andere anleitet, um Probleme selbst besser zu lösen. Der Kern des Inhalts ist großartig und bringt Sie dazu, darüber nachzudenken, wie Sie am besten denken können.

Leider wird fast alles mehrmals wiederholt, und insgesamt sind die Bücher völlig überflüssig. Sie müssen nicht unbedingt über die ersten 36 Seiten hinaus lesen (der Rest des Buches besteht aus einem 'Problemlösungswörterbuch', und hier beginnt die Redundanz).

Die Probleme im Hintergrund, die vorgestellt werden, um Ihre ausgefeilten Fähigkeiten zur Problemlösung zu testen, sind ziemlich beeindruckend - versuchen Sie auf jeden Fall, sie selbst zu lösen! Einer meiner Favoriten: "Ein Bär, beginnend bei Punkt P, ging eine Meile genau nach Süden. Dann änderte er die Richtung und ging eine Meile genau nach Osten. Dann drehte er sich wieder nach links und ging eine Meile genau nach Norden und kam genau am an Punkt P, von dem er ausgeht. Welche Farbe hatte der Bär? " Und nein, das ist keine Trickfrage - die Antwort macht vollkommen Sinn!

Dies ist einer dieser mathematischen "Klassiker", die diejenigen von uns mit einer Ausbildung in Mathematik lieben sollen. Tatsache ist, dass es schlecht geschrieben und fußgängerisch ist. Wenn Sie einen Einblick in das Denken und Herangehen von Mathematikern an die Problemlösung suchen, sollten Sie diesen verpassen. Sie sind weitaus besser dran, Hardys "Entschuldigung eines Mathematikers" (datiert, aber immer noch charmant) oder Ian Stewarts jüngste "Briefe an einen Mathematiker" (charmant und überhaupt nicht datiert) zu lesen.

Ich habe kürzlich How To Solve It - Ein neuer Aspekt der mathematischen Methode - von George Polya gelesen.

Im Folgenden finden Sie wichtige Auszüge aus diesem Buch, die ich besonders aufschlussreich fand:

Eine großartige Entdeckung löst ein großes Problem, aber die Lösung eines Problems enthält eine Reihe von Entdeckungen. Ihr Problem kann bescheiden sein; Aber wenn es Ihre Neugier herausfordert und Ihre erfinderischen Fähigkeiten ins Spiel bringt und Sie es mit Ihren eigenen Mitteln lösen, können Sie die Spannung erfahren und den Triumph der Entdeckung genießen. Solche Erfahrungen in einem anfälligen Alter können einen Geschmack für geistige Arbeit erzeugen und ihren Geist und Charakter ein Leben lang prägen.

Wenn wir die Methoden zur Lösung von Problemen studieren, nehmen wir ein anderes Gesicht der Mathematik wahr. Ja, Mathematik hat zwei Gesichter; Es ist die strenge Wissenschaft von Euklid, aber es ist auch etwas anderes. Die euklidische Mathematik erscheint als systematische, deduktive Wissenschaft; Aber die Mathematik im Entstehen erscheint als experimentelle, induktive Wissenschaft. Beide Aspekte sind so alt wie die Wissenschaft der Mathematik. Aber der zweite Aspekt ist in einer Hinsicht neu; Mathematik "in statu nascendi", die gerade erfunden wurde, wurde dem Schüler, dem Lehrer selbst oder der Öffentlichkeit noch nie auf diese Weise präsentiert.

Wenn wir versuchen, die Lösung zu finden, ändern wir möglicherweise wiederholt unseren Standpunkt und unsere Sichtweise auf das Problem. Wir müssen unsere Position immer wieder ändern. Unsere Vorstellung vom Problem ist wahrscheinlich ziemlich unvollständig, wenn wir mit der Arbeit beginnen. Unsere Aussichten sind anders, wenn wir einige Fortschritte erzielt haben. es ist wieder anders, wenn wir fast die Lösung erhalten haben.

Wo soll ich anfangen? Beginnen Sie mit der Erklärung des Problems. Was kann ich tun? Visualisieren Sie das Problem als Ganzes so klar und anschaulich wie möglich. Kümmere dich im Moment nicht um Details. Was kann ich dadurch gewinnen? Sie sollten das Problem verstehen, sich damit vertraut machen und seinen Zweck in Ihrem Kopf einprägen. Die Aufmerksamkeit, die dem Problem geschenkt wird, kann auch Ihr Gedächtnis anregen und sich auf die Erinnerung an relevante Punkte vorbereiten.

Es wäre ein Fehler zu glauben, dass das Lösen von Problemen eine rein "intellektuelle Angelegenheit" ist; Entschlossenheit und Emotionen spielen eine wichtige Rolle. Lauwarme Entschlossenheit und schläfrige Zustimmung, etwas zu tun, können für ein Routineproblem im Klassenzimmer ausreichen. Um ein ernstes wissenschaftliches Problem zu lösen, ist jedoch Willenskraft erforderlich, die jahrelange Arbeit und bittere Enttäuschungen überdauern kann.

Wenn Sie das vorgeschlagene Problem nicht lösen können, lassen Sie sich von diesem Fehler nicht zu sehr belasten, sondern versuchen Sie, Trost mit leichterem Erfolg zu finden. Versuchen Sie zunächst, ein verwandtes Problem zu lösen. Dann finden Sie vielleicht Mut, Ihr ursprüngliches Problem erneut anzugreifen. Vergessen Sie nicht, dass die menschliche Überlegenheit darin besteht, ein Hindernis zu umgehen, das nicht direkt überwunden werden kann, und ein geeignetes Hilfsproblem zu entwickeln, wenn das ursprüngliche unlösbar erscheint.

Der zukünftige Mathematiker sollte ein kluger Problemlöser sein:; Aber ein kluger Problemlöser zu sein, reicht nicht aus. zu gegebener Zeit sollte er bedeutende mathematische Probleme lösen; und zuerst sollte er herausfinden, für welche Art von Problemen sein einheimisches Geschenk besonders geeignet ist.

Abschließend:

Um ein Hindernis herumzugehen, lösen wir jede Art von Problem: Das Experiment hat eine Art symbolischen Wert. Die Henne verhielt sich wie Menschen, die ihr Problem durcheinander bringen: durch, immer wieder versuchen und schließlich durch einen glücklichen Unfall erfolgreich sein, ohne viel Einblick in die Gründe für ihren Erfolg. Der Hund, der kratzte und sprang und bellte, bevor er sich umdrehte, löste sein Problem ungefähr so ​​gut wie wir unser Problem mit den beiden Behältern. Die Vorstellung einer Skala, die die Wasserlinie in unseren Behältern zeigt, war eine Art fast nutzloses Kratzen, das nur zeigt, dass das, was wir suchen, tiefer unter der Oberfläche liegt. Wir haben auch zuerst versucht, vorwärts zu arbeiten, und sind auf die Idee gekommen, uns danach umzudrehen. Der Hund, der sich nach kurzer Betrachtung der Situation umdrehte und davonstürzte, vermittelt zu Recht oder zu Unrecht den Eindruck einer überlegenen Einsicht. Nein, wir sollten die Henne nicht einmal für ihre Ungeschicklichkeit verantwortlich machen. Es ist eine gewisse Schwierigkeit, sich umzudrehen, vom Ziel wegzugehen, fortzufahren, ohne ständig auf das Ziel zu schauen, und nicht dem direkten Weg zum gewünschten Ende zu folgen. Es gibt eine offensichtliche Analogie zwischen ihren Schwierigkeiten und unseren Schwierigkeiten.

Eine sehr empfehlenswerte Lektüre im Bereich der Problemlösung.

Ich wünschte, ich hätte dieses Buch zu Beginn der Graduiertenschule gelesen. Wie man es löst Es geht nicht so sehr um Methoden zur Lösung mathematischer Probleme, sondern um verschiedene Ansätze zur Lösung von Problemen im Allgemeinen. Die Methode, mit der er das Lösen von Problemen lehrt, besteht darin, die Ansätze auf Probleme der Geometrie anzuwenden. Dies steht im Einklang mit der altgriechischen Meinung (Aristoteles), dass die Jungen zuerst Geometrie lernen sollten. Wenn sie dann Logik gelernt haben und wie man Dinge mit der physischen Realität beweist, können sie zu Dingen wie Philosophie oder Politik übergehen.

Der erste Teil Wie man es löst sind Aufsätze darüber, wie man lehrt und wie man Probleme im Allgemeinen angeht. Seine Sicht auf das Unterrichten bringt einen Schüler zum Nachdenken. Den Schülern Probleme geben, bei denen die Antwort nicht das Ziel ist, sondern die Erfahrung, eine neue Art von Problem zu sehen. Dies steht im Gegensatz zum Betrachten des Unterrichts als eine Reihe von Kochbüchern oder Algorithmen, die unterrichtet werden sollen. Es bedeutet auch, dass die Rolle des Lehrers darin besteht, das Problem zu lösen und dann nur das zu geben, was erforderlich ist, um den Schüler in die Richtung zu bewegen, die der Schüler benötigt, um die Lösungsmethode zu finden. Und vermutlich, um Methoden für andere Probleme entwickeln zu können, die der Schüler zuvor noch nicht gesehen hat. Sehr ähnlich wie die Graduiertenschule sein soll.

Der Großteil Wie man es löst beschreibt eine breite Palette von Ansätzen zur Problemlösung. Einige kennen eine Vielzahl von Disziplinen wie Business, Krisenmanagement oder allgemeine Analyse. Einige kennen sich eher mit Naturwissenschaften oder Mathematik aus. Aber die Illustrationen sind für jeden verständlich, der ein erstes oder zweites Jahr Mathematik an der High School hinter sich hat, was sie viel verständlicher macht als beispielsweise ein Abschlusskurs in realer Analyse.

Wenn ich in der Lage wäre, mit Doktoranden im ersten Jahr in irgendetwas zu arbeiten, würde ich dieses Buch als etwas empfehlen, das ich lesen sollte, bevor sie auf dem Campus ankommen. Es bietet eine gute erste Einführung in viele Lösungsansätze und eine Aufforderung, logisch und analytisch zu denken, die gut zu ihnen passt, wenn sie mit den komplizierten Themen konfrontiert werden, die vor ihnen liegen.

Dies ist ein wichtiges Buch. Möglicherweise historisch in seiner Nützlichkeit und Wirkung. Ich bin stolz darauf, dies in meinem Regal zu haben und werde es wahrscheinlich für den Rest meines Lebens immer wieder referenzieren.

Pólya ist der Lehrer, den ich nie hatte.
Jetzt könnten Sie Angst vor dem Wort "Mathematisch" im Titel haben - seien Sie nicht. Es ist eine allgemeine Anleitung zur Lösung eines Problems. Ausgehend von der Fragestellung, dem Sammeln des Bekannten und dem Finden des Unbekannten. Die Methode, mit der Sie den Mindestabstand zwischen zwei Punkten ermitteln, kann auch verwendet werden, um die bequemste Straße zum nächsten Lebensmittelgeschäft zu finden. Dieses Buch zeigt Ihnen - "Wie man es löst".

Der gesamte Inhalt dieses Buches wird zu Beginn auf den ersten beiden Seiten vorgestellt. Alle anderen Texte sind Erklärungen dieser 2 Seiten, illustriert mit Beispielen usw. Ich denke, dass es für Lehrer sehr nützlich sein könnte ...

Eines der nützlichsten Bücher, die ich in meinem Leben gelesen habe.

Es ist ein authentischer Schatz für alle, die an Problemlösungen interessiert sind (und jeder von uns hat genug Probleme, um sich für Problemlösungen zu interessieren).

Ich denke, dies sollte eine der obligatorischen Vorlesungen für die Highschool- oder College-Ausbildung sein, da darin klar angegeben ist, welche Schritte man intuitiv befolgt, wenn man versucht, ein mathematisches Problem zu lösen oder nicht.

Die wichtigsten Erkenntnisse für mich sind:

1. Wenn Sie einen Plan zur Lösung des Problems haben, sind Sie fast fertig.
2. Das Umgehen von Hindernissen ist ein guter Weg, um Probleme zu lösen.
3. Wenn Sie das Problem, das Sie gerade haben, nicht lösen können, können Sie verschiedene Strategien ausprobieren:
- Ändern Sie das Problem
- Ändern Sie das erwartete Ergebnis
- Ändern Sie die Bedingungen
- Ändern Sie alles -> Alles, was Sie dazu bringen könnte, das Problem besser zu verstehen, könnte helfen.

Dieses Buch wurde als Referenz in mehreren anderen Büchern verwendet, die ich gelesen habe, und ich verstand es eher als allgemeine Methode zur Problemlösung, als ich mich entschied, es zu lesen. Es ist in einem etwas umständlichen Stil geschrieben, für ein Publikum, das schwer zu erkennen ist, und mit genügend Wiederholungen, dass ich Seiten überspringen musste, um zum nächsten Thema zu gelangen. Das war frustrierend, da ich dieses Buch wirklich mögen wollte. Wenn Polya sich auf die verallgemeinerten Konzepte der Problemlösung konzentriert, hat er wunderbare Einsichten. Aber das allein würde weniger als fünf Seiten des Textes füllen. Das Maß an Pedantismus in Bezug auf die Terminologie, das ich langweilig unerträglich fand, und schließlich fürchtete ich mich davor, das Buch wieder aufzunehmen, weil ich es bereits bekam. Letztendlich habe ich in diesem Buch nicht gefunden, was es so erfolgreich gemacht hat. "The List" ist ein großartiger Ansatz zur Problemlösung, aber das ist nur die Seite vor der Einführung und rechtfertigt die verbleibenden 253 nicht.

Dies ist ein großartiges Buch.

Es lehrt das Lösen mathematischer Probleme. Es konzentriert sich hauptsächlich auf Probleme der High School, ist aber auf die meisten Arten von mathematischen Problemen anwendbar. Der Autor hat einen schönen heuristischen Rahmen für die Lösung von Problemen entwickelt und diese wunderbar erklärt. Es sind nicht nur die Methoden - die Darstellung ist auch eine großartige Erkenntnis aus dieser Lektüre.

Auf der anderen Seite wurde das Buch 1945 geschrieben und zeigt es manchmal. Es ist allerdings süßer als ein Ärgernis :)

Das ist so ein tolles Buch. Polya beschreibt die verschiedenen Ansätze, mit denen Sie ein Problem lösen können. Er verwendet hauptsächlich die euklidische Geometrie, um die möglichen Wege zur Lösung verschiedener Probleme zu erklären.

Dies ist besonders gut, wenn Sie ein Problem analysieren müssen, das Sie zuvor noch nicht gesehen haben - wo und wie Sie anfangen sollen? Er geht den Problemlösungsprozess im Detail durch, beginnend mit der detaillierten Analyse der Frage und der systematischen Synthese der Antwort.

Dieses Buch hat meine Sicht auf Mathematik wirklich verändert, insbesondere abstrakte Mathematik. Nach dem Lesen dieses Buches habe ich ein viel tieferes Verständnis und Verständnis für abstrakte Mathematik. Die Probleme am Ende des Buches sind herausfordernd, machen aber Spaß, wenn Sie endlich (wenn überhaupt) herausfinden, was der Trick ist.

Das 1950 geschriebene Buch gilt noch heute und versucht, eine Methode zu finden, um die Lösung für jedes mathematische Problem zu finden, auf das wir in unserem Leben stoßen könnten. Obwohl sich der Autor manchmal wiederholt, ist er sehr pädagogisch und präsentiert verschiedene Beispiele, um seine Methode zu veranschaulichen. Obwohl sich die Beispiele hauptsächlich auf dem Gebiet der Mathematik befinden, gelingt es ihm, sie in andere Bereiche (wie Ingenieurwesen, Physik, Psychologie usw.) zu übersetzen. Ein schönes Buch in unserer Bibliothek :)

Der erste kleine Teil des Buches ist lehrreich und nützlich, aber der zweite größere Teil "Dictionary of Heuristics" wiederholt sich etwas. Sie müssen ihn durchsehen, um Nuggets neuer Weisheit zu finden :)

Wie man es löst Es ist im Grunde ein +1 Intelligenztrank, der in einem mathematischen Text abgefüllt ist. Ich habe dieses Buch an einem regnerischen Tag gelesen und es hat meine Fähigkeit verbessert, Probleme danach kreativ zu lösen. Es ist nicht so, dass Sie nicht alleine über Polyas Methoden stolpern, sondern dieses Buch spart Ihnen Zeit und gibt Ihnen eine grundlegende Rubrik für viele Arten von Problemen. Es lohnt sich zu lesen, unabhängig von Ihrem Hintergrund.

2019.09.01-2020.01.17

Contents [show]

Polya G (1945) Wie man es löst - Ein neuer Aspekt der mathematischen Methode

Vom Vorwort zum ersten Druck (1944)

Vom Vorwort zum siebten Druck (1954)

Vorwort zur zweiten Ausgabe (1956)

Liste "Wie man es löst"
• Das Problem verstehen
• Ausarbeitung eines Plans
• Plan ausführen
• Zurückblicken

Vorwort (von John H. Conway)

Einführung

Teil I: Im Klassenzimmer

Zweck
• 01. Dem Schüler helfen
• 02. Fragen, Empfehlungen, mentale Operationen
• 03. Allgemeines
• 04. Gesunder Menschenverstand
• 05. Lehrer und Schüler. Nachahmung und Übung

Hauptabteilungen, Hauptfragen
• 06. Vier Phasen
• 07. Das Problem verstehen
• 08. Beispiel
• 09. Ausarbeitung eines Plans
• 10. Beispiel
• 11. Plan ausführen
• 12. Beispiel
• 13. Rückblick
• 14. Beispiel
• 15. Verschiedene Ansätze
• 16. Die Befragungsmethode des Lehrers
• 17. Gute und schlechte Fragen

Weitere Beispiele
• 18. Ein Konstruktionsproblem
• 19. Ein zu beweisendes Problem
• 20. Ein Ratenproblem

Teil II: Wie man es löst

Ein Dialog
• Bekannt werden
• Arbeiten für ein besseres Verständnis
• Auf der Suche nach der hilfreichen Idee
• Durchführung des Plans
• Zurückblicken

Teil III: Kurzes Wörterbuch der Heuristik

• Analogie
• Hilfselemente
• Hilfsproblem
• Bozen
• Gute Idee
• Können Sie das Ergebnis überprüfen?
• Können Sie das Ergebnis anders ableiten?
• Können Sie das Ergebnis verwenden?
• Durchführung
• Bedingung
• Widersprüchlich
• Folgerung
• Könnten Sie aus den Daten etwas Nützliches ableiten?
• Könnten Sie das Problem wiederholen?
• Zerlegen und neu kombinieren
• Definition
• Descartes
• Entschlossenheit, Hoffnung, Erfolg
• Diagnose
• Haben Sie alle Daten verwendet?
• Kennen Sie ein verwandtes Problem?
• Zeichnen Sie eine Figur
• Untersuchen Sie Ihre Vermutung
• Zahlen
• Verallgemeinerung
• Hast du das schonmal gesehen?
• Hier ist ein Problem, das mit Ihrem zusammenhängt und zuvor gelöst wurde
• Heuristik
• Heuristisches Denken
• Wenn Sie das vorgeschlagene Problem nicht lösen können
• Induktion und mathematische Induktion
• Paradoxon des Erfinders
• Ist es möglich, die Bedingung zu erfüllen?
• Leibnitz
• Lemma
• Sehen Sie sich das Unbekannte an
• Moderne Heuristik
• Notation
• Pappus
• Pedanterie und Meisterschaft
• Praktische Probleme
• Probleme zu finden, Probleme zu beweisen
• Fortschritt und Leistung
• Puzzles
• Reductio ad absurdum und indirekter Beweis
• Redundant
• Routineproblem
• Entdeckungsregeln
• Stilregeln
• Unterrichtsregeln
• Trennen Sie die verschiedenen Teile der Bedingung
• Gleichungen aufstellen
• Anzeichen von Fortschritt
• Spezialisierung
• Unbewusste Arbeit
• Symmetrie
• Alte und neue Begriffe
• Nach Dimension testen
• Der zukünftige Mathematiker
• Der intelligente Problemlöser
• Der intelligente Leser
• Der traditionelle Mathematikprofessor
• Variation des Problems
• Was ist das Unbekannte?
• Warum Beweise?
• Weisheit der Sprichwörter
• Rückwärts arbeiten

Teil IV: Probleme, Hinweise, Lösungen

• Probleme
• Hinweise
• Lösungen

So lösen Sie es:

First.
You have to understand the problem.
UNDERSTANDING THE PROBLEM
What is the unknown? What are the data? What is the condition?
Is it possible to satisfy the condition? Is the condition sufficient to determine the unknown? Or is it insufficient? Or redundant? Or contradictory?
Draw a figure. Introduce suitable notation.
Separate the various parts of the condition. Can you write them down?
Second.
Find the connection between the data and the unknown.
You may be obliged to consider auxiliary problems if an immediate connection cannot be found.
You should obtain eventually a plan of the solution.
DEVISING A PLAN
Have you seen it before? Or have you seen the same problem in a slightly different form?
Do you know a related problem? Do you know a theorem that could be useful.
Look at the unknown! And try to think of a familiar problem having the same or a similar unknown.
Here is a problem related to yours and solved before. Could you use it? Could you use its result? Could you use its method? Should you introduce some auxiliary element in order to make its use possible?
Could you restate the problem? Could you restate it still differently? Go back to definitions.
If you cannot solve the proposed problem try to solve first some related problem. Could you imagine a more accessible related problem? A more general problem? A more special problem? An analogous problem? Could you solve a part of the problem? Keep only part of the condition, drop the other part; how far is the unknown then determined, how can it vary? Could you derive something useful from the data? Could you think of other data appropriate to determine the unknown? Could you change the unknown or the data, or both if necessary, so that the new unknown and the new data are nearer to each other?
Did you use all the data? Did you use the whole condition? Have you taken into account all essential notions involved in the problem?
Third.
Carry out your plan.
CARRYING OUT THE PLAN
Carrying out your plan of the solution, check each step. Can you see clearly that the step is correct? Can you prove that it is correct?
Fourth.
Examine the solution obtained.
LOOKING BACK
Can you check the result? Can you check the argument?
Can you derive the result differently? Can you see it at a glance?
Can you use the result, or the method, for some other problem?

An der Oberfläche How to Solve von George Pólya ist ein kurzes kleines Buch über Strategien zur Lösung mathematischer Probleme. Tief im Inneren handelt es sich jedoch nicht um ein Buch über Mathematik, sondern um ein Buch, das der Heuristik gewidmet ist - dem Studium von Methoden und Regeln der Entdeckung und Erfindung.

Das Buch ist in vier Teile gegliedert: "Im Klassenzimmer" - Tipps für den Pädagogen zur Anleitung eines Schülers, "Wie man es löst" - die wichtigsten Fragen, die Sie sich bei der Lösung von Problemen stellen sollten, "Kurzes Wörterbuch der Heuristik" - ein Nein so kurze Liste von Ansätzen und Methoden zur Problemlösung zusammen mit Menschen, die mit dem Studium der Heuristik verbunden sind (wie Pappus, Descartes).

Der letzte Teil ist einem "praktischen" Ansatz zur Problemlösung gewidmet, bei dem mehrere kurze Probleme zusammen mit Hinweisen und Lösungen beschrieben werden.

Zuallererst hat mir das Buch sehr gut gefallen. Die vier im Buch beschriebenen Schritte: \ 1 das Problem verstehen \ 2 einen Plan erstellen \ 3 den Plan ausführen \ 4 überprüfen / erweitern; Gehen Sie direkt zum Kern der Sache und sind in jedem Bereich universell einsetzbar. Diese Regeln mögen offensichtlich sein, aber eine klare Formulierung und Definition ist definitiv nicht der Fall.

Ich hatte so viel Spaß daran, Analoga zwischen den Lösungsansätzen in der Mathematik und anderen Bereichen wie Software-Engineering oder Puzzles zu finden oder "so wahr!" und "wow!" nach einer aufschlussreichen Passage. Die Liste der heuristischen Methoden im dritten Teil ist unglaublich nützlich und ich wünschte oft, ich wüsste von diesem Buch, als ich in der High School oder Universität war.

Was mir nicht gefallen hat, war das Layout des dritten Teils - anstatt ein (nicht so) kurzes Wörterbuch der Heuristik zu erstellen, würde das Buch meiner Meinung nach davon profitieren, die heuristischen Methoden prinzipiell einzuführen, anstatt sie alphabetisch zu ordnen.

Alles in allem hat mir das Buch sehr gut gefallen und ich hatte mehr Spaß, als ich mit "einem Mathematikbuch" für möglich gehalten hätte.

MACHEN:
+ Gute Ideen, wie man durchschnittlichen Mathematikstudenten einen Prozess zur Lösung von Problemen in der Mathematik beibringt. Insgesamt nützliches Konzept, aber begrenzter und schlechter Ansatz.
+/- (heuristischer) Prozess basierend auf vier Stufen: 1. Das Problem verstehen. 2. Verwandte Arbeiten verwenden = Verwandte (gelöste) Probleme finden und einen Plan zur Lösung der aktuellen problembasierten vorherigen Lösungen und / oder ihrer Prinzipien festlegen. 3. Lösen = Zeigen Sie, dass der Plan funktioniert. 4. Überprüfen Sie das Ergebnis sorgfältig und stellen Sie entsprechende Fragen. Der Prozess umfasst eine Reihe von (heuristischen) Strategien, die im Rahmen des Plans ausprobiert werden können. Gut und vernünftig für viele Bereiche, aber unvollständig als Prozess (z. B. mangelnde Umsetzung in die Praxis, der möglicherweise zu einigen Zweigen der Mathematik passt, aber nicht zu allen) und vage in wichtigen Details (z. B. wie man das Problem versteht und wie man verwandte Probleme versteht Arbeiten Sie vorteilhaft für das Problem? Wie formulieren Sie einen aussagekräftigen Plan? Wie wählen Sie aus den unzähligen Details jeder Strategie aus? Etc. Etc. Etc.)
+/- Ingenieurstudenten und einige andere gelten als leicht zu befriedigen und nicht bereit (oder nicht in der Lage), vollständigen mathematischen Beweisen zu folgen. Teilbeweise werden als praktikable Alternative vorgeschlagen. Vielleicht in den Ländern und Zeiten, in denen der Autor bei der Entwicklung dieser Ideen gearbeitet hat, aber sicherlich nicht meine Erfahrung.
~ Das Buch ist nicht gut gealtert. Das Schreiben ist altmodisch, die Struktur ist nicht richtig oder ausgewogen, der Rat scheint pedantisch und sich wiederholend usw.

Eleganz bei der Lösung von Problemen ist keine rein mathematische Fähigkeit. Polya formatiert klugerweise Wortprobleme, Probleme des kritischen Denkens und ja mathematische Probleme, die gelegentlich einschüchternd sind.

Aber einer der großen Vorteile ist, dass Probleme nur so schwer wie ungelöst sind. Polya liefert nicht nur hervorragende Ideen zur Lösung von Problemen: Hilfsprobleme erstellen, Heuristiken verwenden, rückwärts arbeiten.

Jedes Beispiel, das Polya gibt, erfordert Konzentration und kritische Analyse. Wenn Sie ein Problem jedoch in seine bloßen Elemente (Variablen, Konstanten) dekomprimieren, wird das Problem beherrschbar, auch wenn es nicht leicht lösbar ist.

Einige der großen Erkenntnisse aus diesem Buch sind für mich:

1) Schauen Sie immer vom Ende und versuchen Sie, ein Problem zu lösen
2) Problemlösung ist: Daten + Unbekannte + Bedingungen. Darin ist alles. Wenn Sie ein bestimmtes Problem darauf verallgemeinern, erhalten Sie eine bessere Roadmap.
3) Wiederholen Sie ein Problem immer, wenn Sie fertig sind. Es ist nicht so wichtig, eine richtige Antwort zu erhalten, sondern zu verstehen, was dieses Problem ist
4) Das Problem zu verstehen ist der Ausgangspunkt.
5) Analogien helfen uns, ähnliche Probleme zu schaffen, damit wir diese Lektionen nehmen und unser ursprüngliches Problem lösen können.

Polyas Enthüllungen erinnern mich sehr an ein Gehirntrainingsbuch. Der Schwerpunkt liegt auf der Mathematik, aber die Prinzipien sind universell. Für diejenigen, die ein Buch suchen, das sowohl zugänglich als auch tiefgreifend ist, ist es meine höchste Empfehlung.

Geometrie und diskrete Mathematik sind die einzigen High-School-Mathematikklassen, die ich gewonnen habe. Wahrscheinlich hatte es mit etwas Lehren und Präsentieren zu tun, sowie mit dem Interesse, das ich aufbrachte, nicht völlig abgestoßen zu werden, wenn es darum ging, welche Lehrplanmandate gelernt werden müssen.

Dieses Buch verfolgt einen einfachen, interessanten Ansatz und obwohl es in den 40er Jahren geschrieben wurde, bleiben viele Vorteile von der Popularität außerhalb seines Fachgebiets zu haben. Als ich mit diesem Buch anfing, erinnerte ich mich daran, dass unser Klassenzimmer als Tutor für ESL-Studenten Mathematikprobleme nutzte, um eine für viele chinesische Studenten bereits fortgeschrittene Neigung - Mathematik - in die englische Sprache zu überbrücken. In einem amerikanischen Viertel, in dem man im Grunde genommen ein erfülltes Leben mit geringen Englischkenntnissen führen konnte, gab es Anlass zu einem Sprung.

Hier verwendet Polya Wörter, um Menschen in die Welt des mathematischen Konzepts einzubinden, die so oft nur von Zahlen und Symbolen in ihrer Mechanik ausgeführt wird, dass wir die immense Bedeutungssprache, die in einer Methode bezeichnet wird, nicht so oft hervorheben. Und in einer Gesellschaft, in der sich diese Mechaniker manchmal als angenommen und mühsam bereits erledigt fühlen können, verleiht sie den Charme der Entdeckung und Wiederentdeckung und verleiht den Wert der alltäglichen Bestätigung durch Erforschung.


So gut.

Dies ist ein cooles Buch. Es ist eine vergleichsweise seltene Sache für einen erstklassigen Mathematiker, wirklich ernsthaft und nachdenklich über den Mathematikunterricht zu schreiben. Zumindest ist mir das nicht zu sehr begegnet. Und es ist ungefähr anderthalb Jahre her, seit ich etwas über Mathematikunterricht gelesen habe, von dem ich nicht das Gefühl hatte, dass ich es bereits wusste. (Requisiten an die Reihe _Young Mathematicians at Work_ von Fosnot und Dolk, was das letzte war, was ich so gelesen habe ...)

Das Besondere an diesem Buch ist, dass es um die eigentliche Anatomie der Problemlösung geht, für die Sie noch keine Formel haben. Was macht ein effektiver Problemlöser wirklich, wenn er versucht, ein Problem zu lösen? Was ist der eigentliche Prozess, durch den neuartige Probleme in Betracht gezogen, relevante Wissensbestände abgerufen, Ressourcen gefunden und Lösungen formuliert werden? Welche Teile des Prozesses sind kreativ und welche Teile sind streng? Was kann man tun, um etwas Traktion zu bekommen, wenn man feststeckt? Irgendwie habe ich in all den Jahren, in denen ich über Mathematikunterricht gelesen und nachgedacht habe, nie einen Versuch gesehen, systematisch Antworten auf diese Fragen zu formulieren. Aber genau das versucht Polya hier (und das ist im Wesentlichen erfolgreich).

Ich erinnere mich nicht, wann ich dieses Buch zum ersten Mal gesehen habe - ich glaube, es war früh in meiner Zeit bei Cornell. Es hat großen Einfluss darauf, wie ich mit Mathematik umgehe. Es ist eines der besten Mathematikbücher, die ich je gelesen habe, und möglicherweise das beste Buch über mathematische Problemlösungen, das jemals geschrieben wurde.

In meinem Labor in Berkeley schweben zwei Kopien davon, ein Beweis dafür, dass ich nicht der einzige bin, der es schätzt.

Polya war ein erstklassiger Mathematiker, und sein Buch widmet sich der einfachen und nützlichen Erklärung, wie ein guter Mathematiker versucht, mathematische Probleme zu lösen. Es besteht aus einer Liste von Strategien oder Fragen, die bei der Problemlösung gestellt werden müssen. Es gibt Abschnitte zum Beispiel über "Zeichnen von Figuren" und "Kennen Sie ein verwandtes Problem?" mit Beispielen und ausführlichen Ratschlägen.

Es ist kurz, engagiert geschrieben, witzig und leicht zu befolgen. Ich kann es niemandem empfehlen, der sich auch nur gelegentlich mit mathematischen Problemen (in Naturwissenschaften, Ingenieurwissenschaften oder dergleichen) befasst.

Zum größten Teil hat mir das Buch gefallen. Mir hat gefallen, wie es geschrieben wurde. Einige der mathematischen Beispiele lagen jedoch völlig über meinem Verständnisniveau, und ich musste mich bestechen, um diese lustigen Teile durchzulesen, um zu verstehen, was der Autor zu veranschaulichen versuchte, anstatt nur zu überspringen. Ich musste das Buch zweimal lesen, weil ich nach diesen lustigen Teilen immer wieder "auscheckte", aber als ich es das zweite Mal las, begannen die Konzepte, die es zu lehren versuchte, wirklich zu klicken.

Dieses Buch hat mir geholfen, die Augen für die Gründe zu öffnen, warum ich anfing zu kämpfen, als ich zur Mathematik auf College-Niveau kam. Es wurde betont, wie wichtig es ist, das Problem selbst zu verstehen, wie nützlich es ist, Diagramme zu zeichnen, und wie wichtig es ist, die Antwort noch einmal durchzugehen und sich Zeit zu nehmen, um zu lernen, wie das Problem funktioniert, und zu vermeiden, in die Falle zu geraten, nur Formeln auswendig zu lernen ergänze.

Alles in allem habe ich vor, dies für eine Weile in meinem Regal zu belassen, damit ich zurückgehen und die Konzepte überprüfen kann, bis sie für mich zur zweiten Natur werden. Die vorgeschlagenen Strategien verdienen auf jeden Fall sorgfältige Übung, um vollständig zu lernen.

Ich habe das zufällig im Sommer in einem College-Buchladen aufgegriffen. Ich bin immer auf der Suche nach pädagogischen Texten zu analytischen Methoden, daher ist mir dieser aufgefallen. Was für ein erstaunlicher Fund! Pólya präsentiert dem Leser eine Liste von Schritten, die bei der Analyse eines Problems zu verwenden sind, und unterteilt sie jeweils umfassend. Das gesamte Buch verweist wiederholt auf sich selbst, sodass Sie jederzeit zu wichtigen, verwandten Punkten zurückkehren können.

Der Schreibstil ist schrullig, aber zugänglich und sehr direkt. Die Bezugnahme des Autors auf "Der langsamere, trübe Schüler" brachte mich vor amüsanter Überraschung zum Lachen.

Der Text ist nicht lang, aber ich habe über einen Monat gebraucht, um ihn zu lesen, da ich alle paar Seiten anhalten und verdauen musste, was ich gelesen hatte, oder neue Gedanken über ein Problem aufschreiben musste, auf das ich seine Methoden anwenden konnte. Noch besser ist, dass die von ihm beschriebenen Methoden nicht nur für die Mathematik relevant sind, sondern auch auf eine breite Palette von Analysen und Problemlösungen anwendbar sind.

Dies ist ein phänomenales Buch und ich wünschte nur, ich hätte es früher in meinem Leben kennengelernt.

Dieses Buch, das als klassischer Leitfaden zur Problemlösung gepriesen wird, hat sehr gute Arbeit geleistet, um die Sichtweise eines Problems und einige allgemeine Methoden zur Lösung und Behandlung zu kategorisieren. Ich glaube jedoch, dass ich dies zur falschen Zeit gelesen habe - es hätte mich viel mehr faszinieren können, wenn ich es in den frühen 2000er Jahren gelesen hätte (andererseits gab es damals keine Übersetzung ins Vietnamesische, und ich vermute, dass mein mittelmäßiges Englisch damals würde lass mich es nicht beenden).

Trotzdem habe ich das Buch so durchgesehen, dass ich das meiste durchgesehen habe und nur bei den bestimmten Fällen angehalten habe, die ich neu / relevant / interessant fand. Ich habe viele Beispiele übersprungen (ich weiß, ich weiß, ich fühle mich immer noch schuldig!), Ungeachtet dessen, dass ich im langen Text viele gute Juwelen gefunden habe. Das Paradoxon des Schöpfers zum Beispiel habe ich auf die harte Tour gelernt, aber es in ein Konzept gepackt zu sehen, hat mir geholfen, mein Denken zu organisieren.

Ich hätte Highschool-Schülern eine viel höhere Bewertung als Mittelschule gegeben.

Ich mag das Kapitel am Ende. Lustige Fragen.

So lösen Sie es Es enthält eine Sammlung von Heuristiken, mit denen Sie bei der Lösung schwieriger Probleme nicht mehr weiterkommen. Es ist hauptsächlich für mathematische Probleme gedacht, aber es gibt einige Beispiele aus der Lösung von Kreuzworträtseln, Schach und sogar primitiven Menschen, die versuchen, einen Fluss zu überqueren.

Während der Inhalt für jeden wichtig, zeitlos und befähigend ist, der Rätsel löst (sei es zum Spaß oder zur Arbeit), fehlt die Organisation des Buches. Die gesamte Lektüre ähnelt eher einer Reihe von Enzyklopädieeinträgen als einem zusammenhängenden Lehrbuch. Viele der Einträge überlappten sich.

Ich bin als Empfehlung an Programmierer über das Buch gestolpert: Das ist nicht ganz angemessen. Voraussetzung ist, dass Sie mit der Geometrie, Algebra und der Grundrechnung der High School vertraut sind und über bescheidene Erfahrungen in der beweisbasierten Mathematik verfügen. Ohne diesen Hintergrund wird der beispielhafte Ansatz des Buches von geringem Wert sein, obwohl die Problemlösungstechniken verallgemeinern.

Dieses Buch gipfelt in G. Polya langjähriger Arbeit und Forschung zur Destillation der wesentlichen Komponenten der Problemlösung. Als Mathematiker ist Mathematik der Kontext, in dem die meisten Diskussionen stattfinden und in dem die meisten Beispiele gegeben werden. In gewissem Sinne ist der Fokus auf Mathematik jedoch nur ein langjähriges Beispiel. Was das Buch wirklich versucht, ist das Lösen von Problemen. Es wird versucht, Ihnen die wesentlichen Konzepte für eine erfolgreiche Problemlösung sowie eine Reihe von Tricks und Techniken zu vermitteln, die Sie selbst anwenden können.

Das Buch liest sich leicht genug. Der Ton des Schreibens ist jedoch gelegentlich nur ein wenig ungewollt herablassend. Die meisten Mathematikbücher aus dieser Zeit, die ich gelesen habe, leiden unter demselben Problem, daher beschuldige ich dieses Buch oder den Autor an sich nicht, nur die Zeit.